Устойчивость трубопроводов с осевыми сильфонными компенсаторами

26.07.2011

Введение

При проектировании трубопроводов с осевыми сильфонными компенсаторами (СК) перед проектировщиками встает вопрос о проверке устойчивости такого трубопровода, которую необходимо проводить для предотвращения возможного скидывания трубопровода со скользящих опор или разрушения трубопровода из-за превышения допустимых напряжений в стенке трубопровода при изгибе. Практический смысл расчета на устойчивость следующий: при осевом сжимающем усилии, действующем на трубопровод, равном критической силе, трубопровод, который был выведен некоторой силой, перпендикулярной оси трубопровода, из состояния прямолинейного равновесия, остается изогнутым после устранения отклоняющей силы. Если значение сжимающего усилия превышает значение критического усилия, тогда при устранении отклоняющей силы отклонение трубопровода продолжит увеличиваться, и наоборот.

Чаще всего расчет в ПО «СТАРТ» не позволяет судить об устойчивости трубопровода, т.к. при создании расчетной схемы проектировщики применяют идеальную модель трубопровода, не содержащую отклонений и деформаций, а это, как мы покажем далее, необходимый фактор возможной потери устойчивости реального трубопровода.

На текущий момент раздел проверки на устойчивость всех нормативных документов РФ по расчету теплопроводов содержит ограничения, не допускающие применение приводимой в документе методики при расчете трубопровода со значительными отклонениями от линейности (участки самокомпенсации), а также не допускающие расчет трубопровода с любыми осевыми СК, т.е. рассматривается некий теоретический прямолинейный трубопровод, зажатый между двумя неподвижными опорами, и не имеющий компенсации температурных деформаций вообще.

В данной статье авторы предлагают подробную методику для проверки трубопровода канальной и надземной прокладки с осевыми сильфонными компенсаторами на устойчивость.

Устойчивость СК с учетом их особенностей

Применение осевых сильфонных компенсаторов нарушает сплошность трубопровода и привносит в систему силы, «распирающие» трубопровод в осевом направлении, практически не зависящие от температурной деформации (рис. 1). Если теряет устойчивость сплошной трубопровод, то происходит боковое отклонение участка с наименьшей устойчивостью от начального положения оси трубопровода. При этом трубопровод отклоняется на величину, ограниченную температурным удлинением трубопровода. В случае же потери устойчивости трубопровода с осевым компенсатором отклонение трубопровода от его начального положения продолжается до полного растяжения компенсатора или до состояния, при котором распорное усилие компенсатора уравновешивается сопротивлением растяжению (возможно при небольших диаметрах или малых давлениях среды).

При оценке устойчивости трубопроводной системы следует различать устойчивость трубопровода и устойчивость собственно сильфонного компенсатора.

Устойчивость сильфонного компенсатора разделяется на два типа.

1. Осевая (продольная) устойчивость – устойчивость компенсатора как гибкого сжимаемого стержня. При потере устойчивости происходит изгиб продольной линии компенсатора. Чем больше компенсирующая способность сильфона и его длина, тем более жестким он должен быть. Чем больше эффективная площадь сильфона – тем более жестким должен быть компенсатор.

2. Локальная устойчивость (устойчивость в плоскости гофров) – при потере локальной устойчивости происходит изгиб или поворот плоскости гофра таким образом, что плоскость этих гофров больше не является перпендикулярной оси сильфона. Чаще всего это встречается у сильфонов с относительно маленьким отношением длины к диаметру при большой высоте гофра (рис. 2).

Устойчивость собственно сильфона при нормальном перемещении его патрубков должен обеспечить завод-изготовитель. Нормальное перемещение патрубков компенсатора и устойчивость трубопровода должен обеспечить проектант своим проектным решением.

Осевые СК по конструкции можно разделить на три типа.

1. Простой сильфонный компенсатор. Пренебрегая жесткостью компенсатора на сдвиг и поворот, такой способ закрепления можно рассмотреть как свободный конец изгибаемого стержня. При этом имеется существенное замечание: чем больше несоосность компенсатора, тем большее он оказывает боковое усилие.

2. Сильфонный компенсатор с усиленным защитным направляющим кожухом. Допускает свободное продольное перемещение патрубков компенсатора; прочность конструкции достаточна, чтобы выдержать возникающие боковые усилия. В расчетной схеме его можно рассмотреть как сильфон с внутренними шарнирными направляющими опорами. В ОАО «НПП «Компенсатор» обозначается как сильфонный осевой компенсатор с усиленным защитным кожухом.

3. Сильфонный компенсатор с защитным направляющим кожухом. Допускает свободное продольное перемещение патрубков компенсатора, прочность конструкции подобрана так, чтобы выдержать возникающие боковые силы и изгибающие моменты. В расчетной схеме его можно рассмотреть как телескопическое устройство, допускающее только продольное перемещение трубопровода и передающее изгибающее усилие на трубопровод. В ОАО «НПП «Компенсатор» обозначается как сильфонное компенсационное устройство (СКУ). СКУ по ТУ ИЯНШ.300260.033ТУ – единственный вид неразгруженных осевых сильфонных компенсаторов, не требующий устройства направляющих опор для обеспечения работоспособности СКУ (обеспечения нормального перемещения патрубков сильфона), направляющие опоры устанавливаются только для неустойчивых трубопроводов. В настоящее время аналогов СКУ по ИЯНШ.300260.033ТУ по прочностным показателям другими организациями не производится.

Считаем важным выделить следующее: силы трения скользящих опор стабилизируют трубопровод в горизонтальной плоскости, вес трубопровода оказывает стабилизирующее воздействие в вертикальной плоскости. Расчет критической силы следует проводить сначала для горизонтальной плоскости, а затем – для вертикальной. При этом, если обеспечивается устойчивость в горизонтальной плоскости, расчет устойчивости в вертикальной плоскости проводить не требуется. Но если трубопровод неустойчив в горизонтальной плоскости, его следует стабилизировать направляющими опорами и проверить на вертикальную устойчивость. Такое разделение необходимо для снижения стоимости направляющих опор, т.к. для стабилизации трубопровода в горизонтальной плоскости достаточно стандартных скользящих опор с направляющим элементом (например, уголкибортики, приваренные к опорной пластине), а для стабилизации в вертикальной плоскости направляющая опора должна быть охватывающего типа.

Расчетная схема реального горизонтального трубопровода, стабилизируемого боковыми силами трения или веса трубопровода, не может относиться к классической задаче устойчивости, а рассматривается авторами как продольнопоперечный изгиб. Если начальный прогиб отсутствует, то и потеря устойчивости стабилизированного силами трения трубопровода невозможна (естественно, при напряжении стенок трубопровода, не превышающем предела прочности), но в то же время начальный прогиб трубопровода определяет значение критического сжимающего усилия. Решение сводится к нахождению осевого сжимающего усилия, момент от действия которого на начальный прогиб трубопровода превысит стабилизирующий момент от действия боковых сил.

Схема 1

На участке трубопровода установлен простой сильфонный компенсатор или СК с защитным кожухом без направляющих опор, упрощенно такую систему следует рассматривать как стержень, изгибаемый сосредоточенной силой, приложенной к свободному концу. При такой схеме применения решающим фактором будет являться не устойчивость системы, а жесткость трубопровода на изгиб. Система может находиться в равновесном состоянии только в случае, если сумма жесткости консольно закрепленного трубопровода и жесткости компенсатора на сдвиг превышает боковое усилие, создаваемое СК при возможной несоосности, т.е. может применяться при очень малой длине трубопровода, большом моменте инерции сечения трубопровода (большом диаметре) или низком внутреннем давлении трубопровода.

При появлении в системе небольшого эксцентриситета вектор распорного усилия сильфона отклоняется от оси трубопровода и создает боковое усилие, увеличивающее изгиб трубопровода и еще больше отклоняющий вектор распорного усилия. Возникает замкнутый цикл. Боковые силы такого рода не зависят от температурной деформации и уравновесятся только при растяжении СК (разрыв многослойного компенсатора при давлении, не превышающем 1,5Ру, невозможен).

На рис. 3, 4 показаны два случая потери устойчивости трубопровода: в первом случае участки трубопровода слева и справа от компенсатора изгибаются разнонаправленно; во втором случае изгиб участков происходит в одном направлении.

Система может находиться в равновесии в том случае, когда суммарная жесткость трубопровода на изгиб и жесткость компенсатора на сдвиг окажется больше, чем возникающее боковое отклоняющее усилие. При этом следует понимать, что при сдвиге патрубка компенсатора на определенную величину угол отклонения распорного усилия будет больше угла изгиба трубопровода пропорционально длинам компенсатора и трубопровода (рис. 5).

Учитывая, что на практике трубопровод всегда имеет изначальный эксцентриситет, необходимо задать некоторое граничное условие.

Известно [1], что прогиб консольно закрепленной балки при действии сосредоточенной силы определяется как:

b=N⋅L3/(3E⋅J). (1)

В то же время боковую силу от изменения направления осевого усилия сильфона можно рассчитать по формуле:

Nос=Pос⋅sin(arctg(b/a)), (2)

где а – длина сильфона (без учета длины патрубков).

Жесткость сдвига определяется как:

Fсдвсдв⋅b, (3)

где λсдв – жесткость сильфона на сдвиг.

Усилия изгиба трубопровода и усилия сдвига компенсатора линейно изменяются по величине сдвига, в то же время значение боковой силы от осевого усилия компенсатора изменяется по синусоиде. Так как графики исходят из начала координат, то можно прийти к следующему заключению: если при малых отклонениях сумма жесткости изгиба трубопровода и сдвига компенсатора превышает боковую силу от осевого усилия компенсатора при его изгибе, то это соотношение сохранится и при больших величинах отклонения. Обобщая формулы (1-3), получаем критерий равновесия системы:

b⋅(3E⋅J/L3сдв) – Pос⋅sin(arctg(b/a))≥0. (4)

Пример 1: На участке трубопровода диаметром 426 мм с толщиной стенки 8 мм и длиной 5 м, защемленного между двумя мертвыми опорами, рядом с одной из мертвых опор установлен простой СК без установки направляющих опор. Параметры компенсатора: эффективная площадь Sэф=1575 см2, жесткость на сжатие λос=579 кгс/см2, жесткость на сдвиг λсдв=1100 кгс/см, длина сильфона – 430 мм. Внутреннее давление среды – 16 кгс/см2, при действии температуры среды трубопровод сжимается на 10 мм. Модуль упругости стали при температуре среды E=192 ГПа, момент инерции сечения трубопровода I=22952,91 см4.

Рассчитаем распорное усилие компенсатора:

Pрасп=1,25Pу⋅Fэф=1,25⋅16⋅1575=31500 (кгс).

Определим усилие от осевой жесткости компенсатора:

Fос.жос⋅Δ=579⋅1=579 (кгс).

Общее осевое усилие от сильфона:

Pос=Pрасп+Fос.ж=31500+579=32079 (кгс).

Зададим величину изгиба b=10 мм и проверим критерий равновесия (в формулу подставлены значения величины, приведенные к кгс и см):

b⋅(3E⋅J/L3сдв) – Pос⋅sin(arctg(b/a))= 1⋅[3⋅2⋅106⋅22952,91/5003+1100] – 32079⋅sin(arctg(1/43))=935 (кгс) > 0.

Вывод: указанная система будет сохранять равновесие. Для указанного трубопровода критерий равновесия нарушится при длине трубопровода равной 12,836 м.

В рассмотренном нами случае при предельном заданном сдвиге не более 10 мм, на конец трубопровода с СК может прилагаться внешнее боковое усилие всего 935 кгс, чего может оказаться недостаточно. При большей величине внешнего бокового усилия сдвиг превысит заданный предел.

Если же компенсатор установлен посередине участка, то длина изгибаемых участков трубопроводов составит половину длины начального участка, а суммарная величина сдвига компенсатора соответственно составит удвоенное значение прогибов трубопроводов.

Выше приведен расчет равновесия системы в качестве обучающей информации! Следует понимать, что сдвиг компенсатора на значительную величину многократно снижает ресурс компенсатора. Критерий равновесия должен превышать величину боковой силы от компенсатора при заданном сдвиге с учетом возможных внешних боковых усилий. То есть критерий равновесия должен препятствовать возможным воздействиям и сдвигу компенсатора свыше допустимого значения. Допускаемый сдвиг задается исходя из назначенной наработки сильфонного компенсатора.

Схема 2

На участке трубопровода установлен простой СК или СК с усиленным защитным кожухом, с каждой стороны от которого установлены две направляющие опоры. Первая на расстоянии – 2-4Ду, вторая на расстоянии 14Ду (рис. 6а). Установка направляющих опор на таком малом расстоянии друг от друга позволяет определить сжимаемый конец трубопровода с сильфонным компенсатором как крепление, допускающее только продольное перемещение, и не допускающее поворота конца трубопровода. Направляющие опоры в этом случае должны воспринимать только боковое усилие (рис. 6б), не оказывая сопротивление изгибу. Вообще можно обойтись и одной направляющей опорой, но она в таком случае должна также допускать только продольное перемещение и не допускать поворота трубопровода. Строительство такой опоры существенно дороже и сложнее, чем двух легких направляющих опор, установленных на расстоянии 10-12Ду друг от друга.

Рассмотрим изгибаемый участок трубопровода длиной L от мертвой опоры до дальней от компенсатора направляющей опоры (рис. 7). На трубопровод действуют продольные силы трения с коэффициентом a2. Изгибу трубопровода препятствуют силы трения перпендикулярные оси трубопровода с коэффициентом a1. Наиболее нагруженному состоянию соответствует состояние теплового расширения трубопровода, когда трубопровод «отталкивается» от мертвой опоры, преодолевая продольную реакцию трения сжимающее усилие компенсатора.

Дифференциальное уравнение изгиба для схемы 2 будет иметь вид:

EJ(d2y/dx2)+(P+a2qx)⋅y=M+a1qLx/2 – a1qx2/2. (5)

Аналитическое решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами слишком трудоемкий процесс, поэтому воспользуемся методом Галеркина (решение приведено в полной версии статьи на РосТепло.ру (www.rosteplo.ru) – прим. ред.).

В результате проведенных расчетов критическое усилие можно определить по следующей зависимости:

Pкр=(8E⋅J⋅f⋅π4+2a1⋅q⋅L4–a2⋅q⋅L3⋅f⋅π2)/(2π2L2f). (6)

Функция Pкр=f(L) в положительной области значений L имеет минимум. Приближенное положение которого можно определить по формуле:

Lк≈[1,4π/(a1⋅q)]×(E⋅J⋅a13⋅q3⋅f)0,25. (7)

В формулах (6) и (7) f – максимально возможный изгиб, заданный проектировщиком. Задается как наибольшее отклонение участка трубопровода от осевой линии, проведенной между мертвыми опорами с учетом температурного удлинения.

Пример 2: Трубопровод с длиной проекции на ось между неподвижными опорами 123,18 м в центре имеет прогиб величиной 6,315 м. Для упрощения примем, что изгиб трубопровода имеет вид треугольника (рис. 8).

Таким образом, длину плеча A трубопровода можно определить следующим образом:

A≈(ax2+b2)0,5=[(123,18/2)2+6,3152]0,5=61,913 (м).

В равновесном состоянии при P=Pкр, температурная деформация плеча А до величины А′ не приведет к смещению точки С вдоль проекции трубопровода, а при сохранении местоположения точки С по проекции трубопровода, будет происходить увеличение отклонения b до величины f.

Допустим, что трубопровод монтируется при 0°С, а максимальная температура теплоносителя составляет 95°С. Тогда:

A′=A+α(95–0)A/1000=61,913+0,0125⋅95⋅61,913/1000=61,987 (м).

Определим f:

f=(A′2–ax2)0,5=(61,9872–61,592)0,5=7 (м).

То есть по мере приближения к неустойчивому состоянию точка изгиба трубопровода совершит боковое перемещение на 0,685 м (7–6,315=0,685 м) от своего начального положения, при этом в диапазоне осевого сжимающего усилия от P=0 до Pкр боковое перемещение изменяется практически линейно, а при значении сжимающей силы больше Pкр – боковое перемещение изменяется по экспоненте.

На рис. 9 показан качественный вид зависимости Pкр=f(L).

Критическая длина имеет следующий физический смысл: если общая длина участка L превышает критическую длину, то участок длиной Lк теряет устойчивость при минимальном значении сжимающего усилия независимо от остальной части участка (рис. 10). Участок трубопровода, не теряющий устойчивость, оказывает сжимающее воздействие от реакции трения на участок, теряющий устойчивость. Очевидно, что неустойчивым будет участок, граничащий с мертвой опорой, – как наиболее нагруженный.

Также следует обратить внимание на то, что заданный начальный изгиб трубопровода будет относиться в таком случае к критическому участку, а не к участку вообще.

Порядок расчета. По формуле (7) рассчитывается критическая длина участка.

Если длина имеющегося участка L меньше критической длины Lк, то по формуле (6) определяется значение критического сжимающего усилия для имеющейся длины участка.

Если длина имеющегося участка L больше критической длины Lк, то по формуле (6) определяется значение минимального критического сжимающего усилия для участка с длиной Lк.

Рассчитываются значения сжимающего усилия от СК и силы трения от устойчивой части трубопровода (если длина трубопровода превышает критическую).

Сравниваются значения критического усилия и суммарного сжимающего усилия от СК и сил трения устойчивой части трубопровода.

Если действующее сжимающее усилие меньше критического значения, трубопровод устойчив.

Если сжимающее усилие больше критического значения, трубопровод неустойчив и требует стабилизации установкой дополнительных направляющих опор.

Схема 3

На участке между двумя неподвижными опорами установлено СКУ, направляющие опоры не установлены (рис. 11). Расчетная схема участка рассматривается как сжимаемый стержень, один конец которого закреплен консольно, а второй допускает только продольное перемещение.

Боковых отклоняющих усилий СКУ на трубопровод не оказывает, т.к. изгиб сильфона внутри устройства невозможен, равно как и изгиб самого устройства.

Схема и расчет аналогичны расчету по схеме 2, с той лишь разницей, что за общую длину участка принимается теперь расстояние между мертвыми опорами, кроме того, местоположение компенсатора также влияет на Pкр, т.к. при размещении СКУ посередине участка силы трения в продольном направлении для каждого из полуучастков уменьшаются в два раза. Для простоты расчет ведут по наиболее нагруженному режиму, когда СКУ установлено у одной из мертвых опор.

По схеме 3 на участках с имеющимся боковым отклонением без направляющих опор могут устанавливаться только СКУ по ИЯНШ.300260.033ТУ ОАО «НПП «Компенсатор». Расчет по схеме 3 действителен исключительно для СКУ по ИЯНШ.300260.033ТУ.

Расчет сжимающего усилия от сильфонного компенсатора. Сжимающее усилие от сильфонного компенсатора, действующее на стенку трубопровода, состоит из двух величин: силы реакции сжатия компенсатора и разницы распорного усилия.

Величина реакции сжатия определяется по стандартной формуле:

Fос.жосΔ (8)

Разница распорного усилия определяется как усилие от внутреннего давления, действующая на разницу эффективной площади сильфона и внутреннего сечения трубопровода:

Fрр=1,25Pу[Sэф–π(D–2s)2/4]. (9)

Nсж=Fос.ж+Fрр. (10)

Пример 3: Трубопровод диаметром 426.12, длиной 260 м, работает при температурах от –30 до +95°C. Рабочее давление трубопровода – 25 кгс/см2. Для компенсации температурных деформаций в середине участка установлен сильфонный компенсатор 2ОПКР-16-400-400 по ИЯНШ.300260.029ТУ. Рядом с СК установлено две пары направляющих опор: 1-я на расстоянии 1 м; 2-я на расстоянии 4,5 м. Компенсирующая способность СК – 400 мм (используется практически полностью), эффективная площадь – 1575 см2, осевая жесткость – 351 кгс/см.

Рассчитаем сжимающее усилие от сильфонного компенсатора:

Nсж=1,25⋅25⋅(1575–π(42,6–2⋅1,2)2/4)+351⋅20=16576 (кгс).

Параметры трубопровода: E95°C=195,2 ГПа (1,952.106 кгс/см2), J=33466 см4, удельный вес трубопровода с теплоносителем и изоляцией 300 кгс/м (3 кгс/см). Коэффициент трения в продольном направлении a2=0,3, коэффициент трения в поперечном направлении a1=0,8.0,3=0,24 (0,8 – коэффициент запаса).

Зададим величину максимального начального изгиба трубопровода в 1 м (100 см) и рассчитаем критическую длину трубопровода по формуле (7):

Lк≈[1,4π/(0,24⋅3)]×(1,952⋅106⋅33466⋅0,243⋅33⋅100)0,25≈7711 (см)= 77 (м)≤(260/2 – 5).

Так как Lк<L, следовательно расчет критического сжимающего усилия необходимо вести для длины Lк.

По формуле (6) рассчитаем Pкр:

Pкр=(8⋅1,952⋅106⋅33466⋅100⋅π4+2⋅0,24⋅3⋅77114–0,3⋅3⋅77113⋅100⋅π2)/(2π2⋅77112⋅100)=83280 (кгс).

Определим сжимающие силы трения устойчивой части трубопровода:

Fтр=(L–Lк)⋅q⋅a2=(125–77)⋅300⋅0,3=4320 (кгс).

Проверяем устойчивость:

Fтр+Nсж=4320+16576=20896<83280.

Результат: трубопровод устойчив, установка дополнительных направляющих опор не требуется.

Пример 4: Рассмотрим трубопровод из примера 3, но вместо СК установлено СКУ.М-25-400-400 рядом с одной из мертвых опор. Направляющих опор не установлено вообще.

Также, как и в предыдущем случае, получаем Lк=77,1 м, Рк=83280 кг. Отличие в данном случае будет в длине устойчивой части трубопровода, которая равна: 260–77=183 м. Рассчитаем силы трения от этого участка:

Fтр=(L–Lк)⋅q⋅a2=(260–77)⋅300⋅0,3=16470 (кгс).

Проверим устойчивость:

Fтр+Nсж=16470+16576=33046<83280.

Трубопровод устойчив и не требует установки направляющих опор.

Внесем изменения в пример 3: зададим начальный изгиб трубопровода в 7 м (700 см). Получим критическую длину участка, равную 131,19 м, критическое усилие равно 27017 кгс. Рассчитаем силы трения для устойчивой части:

Fтр=(L–Lк)⋅q⋅a2=(260–131)⋅300⋅0,3=11610 (кгс).

Проверим устойчивость трубопровода:

Fтр+Nсж=11610+16576=28186>27017.

Результат: при заданном изгибе трубопровода в 7 м рассмотренный трубопровод не устойчив.

Учет парусности. При надземной прокладке следует по известным методикам определить отклоняющее удельное усилие от ветра и отразить его в коэффициенте a1.

Пример 5: На трубопровод, рассмотренный в примере 3, проложенный надземно, действует боковое отклоняющее усилие от ветра 10 кгс/м (0,1 кгс/см). Определим коэффициент a1 с поправкой.

a1′=(q⋅a1–qветр)/q=(3⋅0,24–0,1)/3=0,20667. (11)

Учет значительного уклона трубопровода. Если участок трубопровода расположен со значительным уклоном, то компенсатор необходимо располагать в нижней части трубопровода. Если же по каким-либо причинам расположить компенсатор в нижней части трубопровода не удается, необходимо рассчитать коэффициент a2 с поправкой:

a2′=(q⋅a2+q⋅sinα)/q, (12)

где α – угол наклона трубопровода.

Заключение

В предложенной методике авторы материала впервые в России предлагают ручной способ расчета горизонтальных трубопроводов канальной или надземной прокладки с осевыми компенсаторами на устойчивость, принимая во внимание стабилизирующее воздействие боковых сил трения и веса трубопровода. Предлагаемая методика позволяет определить максимально допустимое отклонение для трубопровода, а также однозначно определить угол какой величины и на каком участке трубопровода допускается применить без потери устойчивости трубопровода.

Влияние несоосности направляющих опор, требования к направляющим опорам, способы стабилизации трубопровода, а также отличия между СКУ и СК с усиленным защитным кожухом авторы рассмотрят в следующей своей публикации.

Результат расчета по приведенной методике очень близок к результату, полученному методом конечных элементов, реализованном в ПО «СТАРТ». Поэтому при расчете в ПО «СТАРТ» с заданием начального отклонения (монтажной неточности или небольшого угла поворота) расчет на устойчивость можно не проводить. В таком случае, судить о потере устойчивости трубопровода с осевыми сильфонными компенсаторами в ПО «СТАРТ» можно по чрезмерному боковому перемещению трубопровода при рабочих условиях.

Литература

  1. Фесик С.П. Справочник по сопротивлению материалов. – 2-е изд., перераб. и доп. – Киев: Будiвельник, 1982.
  2. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука, 1967.
  3. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теория упругости. – 4-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука, 1987.
  4. Баженов В.А., Дащенко А.Ф., Оробей В.Ф., Сурьянинов Н.Г. Численные методы в механике, 2004.
  5. Городецкий А.С., Евзеров И.Д. Компьютерные модели конструкций. – Киев: Факт, 2005.
  6. Биргер И.А., Пановко Я.Г. Прочность. Устойчивость. Колебания. – Т. 1. – М.: Машиностроение, 1968.

Использование материалов статьи, результатов и способов расчетов в нормативно-технических документах, технических условиях и т.п. допускается только с письменного согласия авторского коллектива и с обязательной ссылкой на авторов.


Возврат к списку

  • Нас рекомендуют:
  • МОЭК
  • МТЭР
  • Смит-Ярцево
  • ЗФИ
  • СПТБ Звёздочка
  • ОЗТИ